Обикновени диференциални 
уравнения

Дефиниция.

 

Диференциално 

уравнение наричаме уравнение 
от вида

0

( n )

F ( x , y , y , y , ..., y

)

′

′′

=

където 

х

 е независима 

променлива, 

у = у( х )

 е 

неизвестна функция на 

х

, а 

′ ′′

( n )

y , y ,..., y

 са производните 

на 

у

 спрямо 

х

.

Видове.

1.С отделящи се променливи.

Диференциално уравнение от 
първи ред с 

отделящи се 

променливи

 наричаме, ако може 

да се запише във вида

Р

1

( x ).Q

1

( y ) dx + P

2 

( x ).Q

2

( y ) 

dy =

 

0 

,

Формулата за намиране на 
общото му решение е следната: 

1

2

2

1

P ( x )

Q ( y )

dx

dy C

P ( x )

Q ( y )

+

=

∫

∫

2. 

   Хомогенни

 

  уравнения

 

  

y

y

f (

)

x

′ =

 .

Правим полагането 

y

z( x )

y

z .x

y

z x z

x

′

′

=

⇒

=

⇒

=

+

3. Линейни уравнения от първи 
ред

Уравнение от вида

y

p( x ).y q( x )

′ +

=

 ,където 

p(x)

 и 

q(x)

 са дадени функции на 

х

, се нарича 

линейно

.

Общото решение 

на 

уравнението намираме чрез 
следната формула:

p ( x )d x

p ( x )d x

y ( x ) e

C

q ( x ).e

d x

−





∫

∫

=

+









∫

4. Бернулиеви уравнения:

Уравнение от вида

n

y p(x).y q(x).y ,

′+

=

където 

p(x)

 и 

q(x)

 са дадени 

функции на 

х

, а 

0 1

n

;

≠

 се нарича 

уравнение на Бернули

. 

Р азд еля м е вси чки ч лен ове н а ур авнен ието с

′ +

=

′

+

=

n

n

n

n

n

y

p( x ).y

q( x ).y / y

y

y

y

p( x ).

q( x )

y

y

( )

1

П о л а г а м е

к ъ д е т о

1

n

n

n

y

y

z

y

z ( x ) ,

n

y

y

−

′

′

=

=

=

−

ДВОЕН ИНТЕГРАЛ

 .

Дефиниция.

 

Ако границата  на 

сумата 

1

n

i

i

i

i

f(x ,y ) S

=

∆

∑

 

съществува, когато 

n → ∞

 и 

диаметрите 

0

i

δ

→

, то тази 

граница наричаме двоен интеграл 
от функцията в областта 

D

 и 

означавамe:

D

f(x,y)dxdy

∫

∫

 т.е.

1

0

i

n

i

i

i

n

i

D

f ( x , y )d x d y

lim

f ( x , y ) S

δ

→ ∞=

→

=

∆

∑

∫ ∫

Приложение на двоен интеграл

а/П р е с м я т а н е   л и ц е   н а 
р а в н и н н а   ф и г у р а .

Нека

{

}

D

x b , f ( x )

y

g( x )

α

=

≤ ≤

≤ ≤

 

е областта, на която ще намираме 
лицето. Тогава

D

D

S

dxdy

=

∫∫

2.

С м я н а   н а 

п р о м е н л и в и т е   в 
д в о й н и т е   и н т е г р а л и

Полярни координати в двоен 
интеграл

Смяната най често се използва, 
когато във функцията 

f ( x, y )

или в уравнението 

на кривите , заграждащи 

D

, се 

съдържа израза 

x

y

+

2

2

.

Полярна смяна

2

2

2

0

2

x

.cos

,къдет о

,

к

y

.sin

т огава x

y

dxdyρdρdθ

ρ

θ

ρ

α

θ

α

π

ρ

θ

ρ

=

≥

≤

≤

+

=

+

=

=

ρ

 е разстоянието от точката

 (

х, 

у 

)

 до началото на координатната 

система 

О(0, 0 )

, а 

θ

 е ъгълът, 

който сключват

 

оста

 Ох 

и радиус 

–вектора на точката

 (

х, у 

).

ТРОЕН ИНТЕГРАЛ

Дефиниция.

 

Нека границата на 

тази сума 

(

)

n

i

i

i

f M

V

=

∆

∑

1

съществува при 

n → ∞

 и 

∆Vi → 

0

, независимо от начина на 

делене на областта на части и от 
избора на точките 

М

i

.

Тогава тази граница наричаме 
троен интеграл от функцията 

f ( x , y, z )

в областта G и 

означавамe: 

G

f x,y,z dxdydz

∫∫∫

(

)

.

Vi

n

i

i

n

i

G

f x , y , z d x d yd z

lim

f M

V

∆

→

→ ∞=

=

∆

∑

∫ ∫ ∫

0

1

(

)

(

)

Обeм на тялo G между 
повърхнини.

Нека областта 

G

 се разглежда 

като цилиндрично тяло, 
заградено отдолу и отгоре 
съответно с повърхнините 

z

f x, y

=

(

)

и 

z g x, y

=

(

)

, 

които се проектират в равнината 

Оху

 в областта 

D

, то формулата 

за 

обем  на тялото

 

G

 е следната

V= 

G

D

d x d y d z

g x , y

f x , y d x d y

=

−

∫ ∫ ∫

∫ ∫

( (

)

(

))

Смяна на променливите в троен 
интеграл

Цилиндрични координати

x

c o s

y

s in

z

z

,

,

к

ρ

θ

ρ

θ

ρ

α

θ

α

π

=
=

=

≥

≤

≤

+

к ъ д е т о

0

2

 

2

2

2

х

у

ρ

+

=

 

d xd ydzρdρ dθdz

=

Най целеобразно е използването 
на формулата, когато 

G

 е 

пространствена фигура , която 
лесно се дефинира в 
цилиндрични координати и по 
специално в случаите, когато 
съдържа израза 

2

2

х

у

+

. 

Сферични

 

координати

2

2

2

2

2

0

x

sin cos

y

sin sin ,където

z

cos

x

y

z

dxdydz

sinφdρdφdθ

ρ

ϕ

θ

ρ

ϕ

θ

ρ

ρ

ϕ

ρ

ρ

=
=

≥

=

+

+

=

=

Сферичните координати 

обикновено се използват, когато 
в подинтегралната функция и в 
уравненията на повърхнините, 
заграждащи 

G

 се съдържа израза 

2

2

2

x

y

z

+

+

.

КРИВОЛИНЕЙНИ 
ИНТЕГРАЛИ
Нека

 

    L

    е гладка крива.

 

 

1  

.Криволинеен интеграл от

 

 

 

първи род.
Дефиниция.

 

Криволинеен 

интеграл от първи род

 от 

функцията 

f(x, y, z )

 върху 

кривата 

L

 наричаме границата на 

интегралната сума при 

∆t→0

, ако 

съществува, т.e. 

0

1

(

)

(

)

i

n

i

S

i

L

f x , y , z ds

lim

f x , y , z S

∆

→ =

=

∆

∑

∫

В равнинния случай, когато 
кривата 

L

 има уравнение

y=y(x)

,

 

a

x

b

≤

≤

 

то формулата 

(1)

 добива вида:

b

L

a

f x , y ds

f x , y x

y x

dx

′

=

+

∫

∫

2

(

)

(

( )) 1 ( ( ))

2  

. 

  

Криволинеен интеграл о

 

 

т

   

 

втори род.
Дефиниция.

 

Ако границата при 

n →∞

 и 

0

i

x

∆ →

на тази сумa: 

n

i

i

i

i

i

Px,y ,z x

=

∆

∑

1

(

)

 

съществува и тя не зависи от 
начина на делене на кривата

 L

 и 

избора на точките 

М

i

 , то тази 

граница наричаме 

криволинеен 

интеграл 

от 

Р(x, y, z )

 

върху 

кривата

 L

 по 

координатата х

 и 

се означава 

0

1

i

n

i

i

i

i

x

i

L

P x , y , z dx

lim

P x , y , z

x

∆

→ =

=

∆

∑

∫

(

)

(

)

Сумата от криволинейните 
интеграли по трите координати 

x, y, z

 наричаме 

криволинеен 

интеграл от втори род

 и 

отбелязваме накратко

L

P x , y , z dx Q x , y , z dy R x , y , z dz

+

+

∫

(

)

(

)

(

)

 

(2)

ОСНОВНИ ТЕОРЕМИ ЗА 
ВЕРОЯТНОСТИТЕ

1.Теореми за вероятност на 
сума от събития
А) 

З

а 

несъвместими

 

събития

.

б

/ За съвместими събития

2.Теореми за вероятност на 
произведение

 

  от събития

 

 

а

/ Условна вероятност

.

Дефиция.

Вероятността на 

събитието 

А

, пресметната при 

условие, че се е сбъднало 
събитието 

В

, се нарича 

условна 

вероятност

 и се бележи 

P(A / B)

.Ако А е независимо 

от В, то 

P(A / B) P(A).

=

Условните вероятности се 
пресмятат чрез отношенията

P ( A / B )

,

P( A / B )

k

m

l

l

=

=

При сбъдването на събитието 

В 

броят на всички възможни 
изходи е 

к

 и от тях благоприятни 

за 

А

 са общите за 

А

 и 

В

, т.е. 

l

.

б/ За зависими събития

.

Теоремата за умножение на 
вероятности може да бъде 
обобщена и за произволен брой 
събития. В общия случай тя се 
формулира така

1

1

2

1

3

1

2

1

1

n

n

i

n

i

i

i

P (

A )

P ( A ) .P ( A / A ) . P ( A / A

A ) . ...P ( A /

A )

I

I

−

=

=

=

∩

в

/ За независими събития

За независими събития 

1

2

n

A , A , ..., A

формулата е 

следната

n

n

i

i

i 1

i 1

P( A )

P(A )

=

=

=

∏

I

3. Вероятност на сума от 
независими събития.

Нека А и В са съвместими, но 
независими събития.
Тогава

1

1

1

P ( A

B )

P ( A

B )

P ( A

B )

P ( A ).P ( B )

∪

=

−

∪

=

−

∩

=

−

За 

n

 независими събития 

формулата се изписва така

4. Формула за пълната 
вероятност. Формула на Бейс.

Формула на Бейс
Много често при 
предположенията от формулата 
за пълната вероятност, се налага 
определяне вероятностите на 
хипотезите, при условие, че 
събитието 

А 

се е сбъднало след 

опита, т.е. определяне на 
постеорните (следопитни) 
вероятности 

k

P(H / A) k 1, 2,...,n

=

1

k

k

k

n

i

i

i

P(H ).P(A / H )

P(H / A)

P(H ).P(A / H )

=

=

∑

Ч и с л о в и 
х а р а к т е р и с т и к и   н а 
с л у ч а й н и   в е л и ч и н и

Математическа надежда
(очакване ) или средна 
стойност на случайна 
величина.

Математическа надежда 
(очакване ) или средна стойност 
на случайна величина, наричаме 
числото 

[ ]

M X

 или 

x

m

, което 

се определя по следния начин

а/

за дискретна случайна 

величина

[ ]

1

M X

n

x

k

k

k

m

x .p

=

=

=

∑

,

където 

k

x

 за 

1

k

,...,n

=

 са 

възможните стойности на 
случайната величина, а

k

p

 са 

съответните вероятности.

б

/ за непрекъсната случайна 

величина

x

m

M[X]

x.f(x)dx

∞

−∞

=

=

∫

където 

`

f

(x)

 e плътността на 

разпределение на вероятностите.

2. Дисперсия и 
средноквадратично 
отклонение

.

Дефиниция.

 Отклонението на 

случайната величина 

Х

 от 

нейната средна стойност ще 

наричаме 

центрирана случайна 

величина

, съотвестваща на Х и 

ще означаваме с

0

x

X =X-m

Дефиниция. 

Дисперсия на слечайната 
величина Хнаричаме 
математическата надежда на 
квадрата на съответната 
центрирана случайна величина, 
т.е.

[ ]

(

)

2

x

D X =M X-m









а/ 

за дискретни случайни  

величини

[ ]

(

)

2

1

D X

n

k

x

k

k

x

m

p

=

=

−

∑

б

/ 

за непрекъснати случайни 

величини

[ ]

(

)

2

D X

( )

x

x - m

.f x dx

∞

−∞

=

∫

За пресмятане на дисперсията 
често се използва равенството

[ ]

[ ]

(

)

2

2

D X

M X

M X





=

−





коет

о е вярно както за дискретни, 
така и за непрекъснати случайни 
величини.

Средно квадратично 
отклонение

 дефинираме по 

следния начин

[ ]

D X

x

σ =

Някои основни закони за 
разпределение.

1  .Биномен закон на

 

  

разпределение

Нека 

А

е случайно събитие, което 

при всеки опит се сбъдва с една и 
съща вероятност 

р. 

Ако се 

проведат последователно 

n 

опита, вероятността 

к

 пъти 

сбъдване на събитието от тези 

n 

опита се дава с формулата

( )

1

P

C

−

=

= −

k

k

n k

n

n

k

p q

q

p

Математическото очакване

  е

[ ]

M X

=

n.p

 или още

Дисперсията

 се намира чрез 

следната формула

[ ]

[ ]

(

)

2

2

D X =M X - M X

 

=

 

n.p.q

За 

средното квадратично 

отклонение

 на биномното 

разпределение имамe  

=

x

npq

σ

2. Разпределение на Поасон

Ако изменяме два параметъра 
като броя на опитите 

n

 расте 

неограничено 

(

)

→ ∞

n

, а, 

=

n.p

λ

, където 

λ

 е дадена 

положителна константа, то може 
да се докаже, че вероятностите 

( )

n

p k

 от формулата на 

Бернули имат граница

( )

C

−

−

→ ∞

→ ∞

=

=

=

=

k

k

k

n k

k

n

n

n

n

n p

p

l i m p k

l i m

p q

e

k !

λ

λ

λ

За 

математическото очакване 

на случайната величина 

Х

 имаме 

[ ]

MX

=

λ

За 

дисперсията

 имаме следната 

формула

[ ]

D X

=

λ

3. 

   Нормален закон за

 

  

разпределение.

Дефиниция

. 

Случайната 

величина има нормален закон за 
разпределение, ако плътността на 
вероятностите и има вида

(

)

2

2

1

2

( )

x m

f x

.e

σ

σ π

−

=

където 

m

 и 

σ

 са параметри. 

За всяко 

m

и 

σ

 функцията 

удовлетворява условието

( )

1

f x dx

∞

−∞

=

∫

За пресмятане на основните 
числови характеристики и 
прилагаме формулите

:

За намиране математическото 
очакване

[ ]

M X

m

=

За намиране дисперсията

[ ]

2

D X

σ

=

Средното квадратично 
отклонение при нормалното 
разпределение е

[ ]

2

x

D X

σ

σ

σ

=

=

=

=

= −

n

1

i

2

n

i 1

P(

A ) 1 P(A ).P(A ).....P(A )

U