МАТЕМАТИЧЕСКИ АНАЛИЗ – 1
Лектор: доц.д-р Е.А. Върбанова
elvar@tu-sofia.bg
Лекция 8
РАЗДЕЛ II
ДИФЕРЕНЦИАЛНО СМЯТАНЕ
ПРИЛОЖЕНИЯ НА ПОНЯТИЕТО ПРОИЗВОДНА ЗА ИЗСЛЕДВАНЕ НА ФУНКЦИЯ
Локален екстремум. Изпъкналост/вдлъбнатост и инфлексия.
Монотонни функции. Графика на функция
Разгледаните в предходната лекция теореми ни убеждават във важността на
понятието производна на функция. Тук ще разгледаме още математически твърдения,
потвърждаващи това. Преди всичко ще научим, че съществуват „родствени връзки”
между знака на производната от даден ред и поведението (изменението на графиката) на
една функция. Ще се спрем на понятията локален максимум, локален минимум и
инфлексия, които се срещат и в редица приложения на Математическия анализ.
Напомняне:
Думата „локален” се употребява за понятия, дефинирани в точка.
ЛОКАЛНИ ЕКСТРЕМУМИ
Дефиниция 1
.
Понятието
локален екстремум
означава или локален максимум,
или локален минимум.
Дефиниция 2
.
Казваме, че функцията
( )
f x
има
локален максимум
в някоя
вътрешна точка
0
x
от дефиниционното й множество
D
, ако съществува околност
0
0
0
( ) (
,
)
U x
x
x
D
δ
δ
δ
=
−
+ ⊂
на тази точка, в която е изпълнено неравенството:
(1)
0
0
( )
( ),
( )
f x
f x
x U x
δ
≤
∀ ⊂
.
Когато горното неравенството е с противоположна посока, а именно:
(2)
0
0
( )
( ),
( )
f x
f x
x U x
δ
≥
∀ ⊂
,
казваме, че функцията
( )
f x
има
локален минимум
в точката
0
x
.
На Фиг. 8.1 е показана функцията
2
y x
arctgx
= −
, която има един локален
максимум в точката
1
1
x
=−
и един локален минимум – в точката
2
1
x
=
.
Фиг. 8.1
1
Забележка.
1)
Точката
0
x
се нарича
точка на локален екстремум
, а стойността
0
( )
f x
на функцията в тази точка се нарича
локален екстремум на функцията
.
2)
В общия случай, един локален максимум (минимум) не е най-голямата (най-малката)
стойност на разглежданата функция.
3)
От съществуването на локален екстремум на една функция
( )
f x
в някоя точка
0
x
не
следва нито че функцията е диференцируема в тази точка, нито даже че е непрекъсната в
нея; т.е. наличието на локален екстремум не е достатъчно условие функцията да
притежава някоя от тези характеристики.
Но наличието на тези характеристики и някои допълнителни условия гарантират
съществуването на локален екстремум на една функция.
Тук ще разгледаме теореми, които засягат въпросите за необходими или за достатъчни
условия за съществуване на локален екстремум на една функция.
Необходими условия за локален екстремум
Теорема 8.1
. (Теорема на Ферма) Нека точката
0
x
е вътрешна за дефиниционното
множество
D
на функцията
( )
f x
. Необходимо условие диференцируемата в т.
0
x
функция
( )
f x
да има локален екстремум в тази точка е
0
( ) 0
f x
′
=
(т.е. производната й
в тази точка да бъде равна на нула).
Доказателство.
В началото да си припомним, че щом функцията
( )
f x
е
диференцируема в т.
0
x
, то
(3)
0
0
0
( )
( )
( )
f x
f x
f x
−
+
′
′
′
=
=
.
Ще докажем теоремата за
случая, когато
( )
f x
има локален минимум в т.
0
x
, т.е. в
някоя околност
0
0
0
( ) (
,
)
U x
x
x
D
δ
δ
δ
=
−
+ ⊂
на тази точка имаме:
(4)
0
0
( )
( ),
( )
f x
f x
x U x
δ
≥
∀ ⊂
.
Сега да напишем дефиниционните равенства за лявата и дясната производни на
функцията в т.
0
x
:
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
( )
( )
( )
( )
( ) lim
,
( ) lim
x
x
x
x
x x
x x
f x
f x
f x
f x
f x
f x
x x
x x
−
+
→
→
<
>
−
−
′
′
=
=
−
−
.
Поради условието (4), числителят на диференчното частно
0
0
( )
( )
f x
f x
x x
−
−
винаги е
неотрицателен:
0
0
( )
( ) 0,
( )
f x
f x
x U x
δ
−
≥
∀ ⊂
. Но знаменателят му е с различен
знак: за лявата производна
0
0
x x
− <
, а за дясната имаме
0
0
x x
− >
. Следователно са
в сила неравенствата:
(5)
0
0
( ) 0,
( ) 0
f x
f x
−
+
′
′
≤
≥
.
От (3) и (5) получаваме
0
0
( ) 0
f x
′
≤
≤
, откъдето
0
( ) 0
f x
′
=
.
Самостоятелна работа. 1) Да се направят необходимите изменения в доказателството за
случая, когато
( )
f x
има локален максимум в т.
0
x
.
2
2) Да се сравнят твърденията в Теоремата на Ферма и в теоремата на Рол (Лекция 7),
както и доказателствата на двете теореми – да се установи кое е обшото и кое -
различното. Да се докаже Теоремата на Рол, като се използва Теремата на Ферма.
3) Какъв е геометричният смисъл на Теоремата на Ферма? (Припомнете си геометричния
смисъл на първата производна или на Теоремата на Рол). Илюстрирайте го с конкретни
примери и графики.
По-обща от теоремата на Ферма е следната
Теорема 8.2
. Нека точката
0
x
е вътрешна за дефиниционното множество
D
на
функцията
( )
f x
. Тогава, ако функцията
( )
f x
има локален екстремум в т.
0
x
, то или
производната
0
( )
f x
′
не съществува, или, ако съществува, тя е равна на нула, т.е.
0
( ) 0
f x
′
=
.
Пример 1. Има ли функцията
( )
f x
x
=
локален екстремум в точката
0
0
x
=
? А
производна в тази точка (вж. Лекция 6, Пример 1)?
Решение: Разгледайте графиката (Фиг. 8.2) на функцията и направете връзка между
Вашите заключения относно локалния й екстремум и Теорема 8.2.
Фиг. 8.2
ИЗПЪКНАЛОСТ/ВДЛЪБНАТОСТ И ИНФЛЕКСИЯ
Нека функцията
( )
f x
е диференцируема
в някоя вътрешна точка
0
x
от
дефиниционното й множество
D
. Тогава в точката
0
0
( , ( ))
f
P x f x
∈Γ
може да се
построи допирателна към графиката й
f
Γ
.
Дефиниция 3
.
Казваме, че функцията
( )
f x
е
изпъкнала (вдлъбната)
в точката
0
x
, ако съществува такава околност
0
0
0
( ) (
,
)
U x
x
x
D
δ
δ
δ
=
−
+ ⊂
на тази точка, за
която частта от графиката на функцията за
0
( )
x U x
δ
∀ ∈
лежи над (под) допирателната в
точката
0
0
( , ( ))
P x f x
.
3