2.
Производна на функция на комплексна пр-
оменлива.Δω=f(z+Δz)-f(z),
Df.
Ако съществу-
ва крайната граница на отношението Δω/Δz
при Δz->0 то:1)ф-ята f(z) се нарича дифере-
нцируема в т.z 2)тази граница се нарича пр-
оизводна на f(z) в т.z и се означава: ω’=f’(z)=
lim Δz->0 Δω/Δz.Усл. на К-Р.
Т1
.Необходимо-
то и достатачно условие ф-ята f(z)= u(x,y)+
iv(x,y) да баде диференцируема в т. z=x+iy е:
1)реалните ф-ции u(x,y) и v(x,y) да бъдат
диференцируеми в т.z 2)в тази точка да са
изпълнени условията на К-Р: ∂u/∂x= ∂v/∂y,
∂u/∂y=-(∂v/∂x).Аналитични ф-ции.
Df.
Ако ф-
цията f(z) е еднозначна и диференци-руема
в
∀
т. на областта D, то тя се нарича анали-
тична в тази област.
Df.
Ф-ята f(z) се нарича
аналитична в т.z, ако тя е аналитична в око-
лност около тази точка.
Л1
.Нека реалната ф-
ция u(x,y) е дефинирана в D.Ако нейните
частни производни удовлетворяват услови-
ето ∂u/∂x= ∂u/∂y=0 във
∀
т. на D, то ф-ята е
константна в тази област.
Т2.
Ако f(z) е ана-
литична в D и f’(z)=0 за
∀
z от тази област,
то f(z) e const. в D.
4
.Основна ф-ла на Коши. Нека ф-ята f(z) е
аналитична в затворената област D (еднос-
вързана или многосвързана) и нека Г е гра-
ницата на D.Оказва се че стойността на f(z)
в произволна т. z от D може да се пресмет-
не, познавайки само стойностите на f(z) въ-
рху границата Г, по формулата:f(z)=(1/2π.i)
∫
Г
(f(ζ)dζ)/ζ-z.Формула за производните.
Т1
.
Ако ф-ята f(z) е аналитична в затворената
област D, то в
∀
т. от D тя притежава произ-
водни от произволен ред, дефинирани по
формулата: f
(n)
(z)=(n!/2π.i) ∫
Г
(f(ζ)dζ)/(ζ-z)
n+1
.
T2
(Т за средните стойности)Стойността на ан-
алитична ф-ция в центъра на кръг от обла-
стта и на аналитичност, е средно аритмети-
чно от стойностите на ф-ята върху окръжно-
стта на този кръг.
Т3.
(Принцип на максимума
на модула)Ако ф-ята f(z), различна от const.,
е аналитична в затворената D , то модулът
на тази ф-ия достига най-голямата си стой-
ност единствено върху границата на об. D.
5
.Ред на Тейлор.
Df.
Степенният ред
1)
n
n
n
z
z
n
z
f
z
f
)
.(
!
)
(
)
(
0
0
0
)
(
−
=
∑
∞
=
се нарича ред
на Тейлор за ф-ята f(z) в
околност z=zо.По такъв начин сумата f(z)
на степенния ред
2)
∑
∞
=
+
−
++
−
+
−
+
−
+
=
−
0
0
3
0
3
2
0
2
0
1
0
0
. . .
)
(
. . .
)
(
)
(
)
(
)
(
n
n
n
n
n
z
z
a
z
z
a
z
z
a
z
z
a
a
z
z
a
е аналитична ф-ия в кръга на сходимост на
този ред, който е ред на Тейлор за сумата си
f(z).
Т1.
∀
Ф-ия f(z), аналитична в кръга Іz-
zoІ<R, може да се представи в този кръг по
единствен начин чрез съответния ред на
Тейлор - ф.1.
Df.
Редът
n
n
n
z
z
a
z
f
)
(
)
(
0
−
=
∑
+∞
−∞
=
коефиц. на който се определят по ф-лата:
∫
+
−
=
γ
π
1
0
)
(
)
(
2
1
n
n
z
z
dz
z
f
i
a
,
(n=0, ±1,±2,…),
се нарича ред на Лоран за ф-та f(z) и окол-
ност на т. zо.Сумата f(z) на реда е аналити-
чна ф-ция в пръстена на сходимост на този
ред, който е ред на Лоран за своята сума.
Т2.
∀
Ф-ия f(z), аналитична в пръстена r<Іz-
zoІ<R, може да се представи в този пръстен
по единствен начин чрез съответния ред на
Лоран.Нули и особени точки.
Df.
Нула на ед-
на ф-ия се нарича такава точка zo, за която
f(zo)=0.
T3
. Необходимото и достатъчно усл-
овие точката zo да бъде нула от кратност m
за аналитичната ф-ия f(z) е тази ф-ия да им-
а вида:f(z)=(z-zo)
m
.φ(z), където φ(z) е анали-
тична ф-ия в zo и φ(z)≠0.
Df
. Т.zo се нарича
изолирана особена т. за f(z), ако съществу-
ва такава околност на zo, в която тя е един-
ствена особена т. за f(z).
1сл)
Ако аj=0 за
∀
j<0, т.zo наричаме отстранима особена точ-
ка.
2сл)
Ако а
-m
≠0 за някое цяло положително
m, но аj=0 за
∀
j<-m, казваме че точката zo е
полюс от кратност м за f(z).
3сл)
Ако аj≠0 за
безбройно много отрицателни стойности за j,
казваме, че т. zo е съществено особена т. за
f(z).
Т4
(Сохоцки-Казорати-Вайерщрас).Ако zo
е съществено особена точка за f(z), то за
произволно число А (крайно или безкрайно)
съществува такава редица {zn}, която е схо-
дяща и lim n->oo zn=zo, че съответната ред-
ица {f(zn)} също е сходяща и lim n>oof(zn)=A
T5
. Необходимото и достатъчно условие то-
чката zo да е нула от кратност m за аналит-
ичната f(z) e zo да бъде полюс от кратност m
за ф-та F(z)=1/f(z).
6
.Резидууми.
Df.
Резидуум Res
z=zo
f(z) на f(z)
в крайната изолирана особена т. zo се нар-
ича коефициентът а
-1
в представянето
n
n
n
z
z
a
z
f
)
(
)
(
0
−
=
∑
+∞
−∞
=
н
а ред на Лоран.От
деф. За резидуумите
следва, че ако zo е правилна или
отстранима особена т. за f(z) то
Res
z=zo
f(z)=0.
Т1.
(Основна теорема за ре-
зидуумите)Ако f(z) е аналитична върху гра-
ницата γ на D и е аналитична в тази област с
изключение на краен брой изолирани осо-
бени точки z1,z2,…,zn, то:
)
(
2
)
(
0
1
z
f
es
R
i
dz
z
f
z
z
n
k
=
=
+
∑
∫
=
π
γ
Д-во:Да заградим особените точки z1,…,zn с
достатъчно малки окр. lk които да лежат във
вътрешността на γ и да не се пресичат вза-
имно.Тогава в затворената многосвързана
област, ограничена от γ и окръжностите lk,
f(z) е аналитична и съгласно теоремата на
Коши за многосвързаната област:
∑∫
∫
=
=
n
k
l
k
dz
z
f
dz
z
f
1
)
(
)
(
γ
като интегрирането върху
∀
контури се изв-
ършва в посока, обратна на часовниковата
стрелка.Токава Т1 е доказана като умножим
и разделим дясната му страна с 2π.i.
Df
. Res
z=оо
f(z) на f(z) в безкрайно отдалечената т.z=
oo се нарича коеф. а1 в представянето:
∑
∑
∞
=
−
∞
=
+
=
1
0
)
(
n
n
n
n
n
n
z
a
z
a
z
f
на f(z) чрез ред на Лоран в околност на z=oo,
взет с проти-воположен знак.Т2.Ако f(z) е
аналитична в разширената равнина, с
изключение на кра-ен брой особени точки, то
сумата от резиду-умите на тази ф-ия е
=0.Сл.Ако f(z) е анали-тична в разширената
равнина с изключение на краен брой
изолирани особени точки, при което
крайните особени точки лежат във въ-
трешността на затворена крива γ то:
)
(
Re
2
)
(
z
f
s
i
dz
z
f
z
∞
=
−
=
∫
π
γ
7
.Ред на Фурие и условия за неговата сход-
имост.
Df
.Системата от ф-ии {φ
n
(x)}
oo
n=0
, де-
финирани в интервала [a,b] наричаме орто-
нормирана, ако са изпалнени условията:1)
∀
ф-ия има интегруем квадрат, ∫аб φ
n
(x)dx<оо
2) ∫аб φ
n
(x)φ
м
(x)dx=δ
mn
– символ на Кронекер
Df
.Нека f(x) е дефинирана в интерв. [-π,π], с
дължина на периода 2π.Казваме,че тази ф-
ия е развита по системата {1/коерн2π,(cos
nx)/корен π,(sinnx)/корен π)
оо
n=1
, ако същес-
твуват такива константи:а0,а1,b1,a2,b2,…,an
bn,... така че:f(x)=a0/2+сумаn=1до оо ancos
nx+bnsinnx за
∀
x е [-π,π].
Df
.Ф-та f(x), дефин
в [a,b] се нарича частинонепрекъсната, ако
или е непрекъсната или има краен брой точ-
ки на прекъсване от първи род, при това:
limx->a f(x)=f(a+0)<oo ; limx->b- f(x)=f(b-0)<oo
Df
.Ф-та f(x), дефинира в [a,b], се нарича час-
тично-гладка в [a,b], ако е частично непрекъ-
сната и във
∀
интервал на непрекъснатост
има частично непрекъсната производна.
Л
.
(Риман-Лебег):Ако φ(x) е произволна частно
гладка ф-ия в [a,b], то:limp->oo ∫аб φ(x)sinpx
dx=0 и limp->oo ∫аб φ(x)cospxdx=0.
T1
.(Дирих-
ле)Ако f(x) е 2π-периодична и частично-гла-
дка на периода ф-ия, то нейният тригономе-
тричен ред на Фурие е сходящ към f(x) в
∀
т.
х, в която ф-та е непрекъсната, а в точките
на прекъсване е в сила равенството: ½[f(x+
0)+f(x-0)]=a0/2+сумаk=1 до оо akcoskx+bksin
kx.
T2
.(Дирихле)Ако f(x) е 2π-периодична, ча-
стично-гладка и непрекъсната върху цялата
реална ос ф-ия, то нейният ред на Фурие е
равномерно сходящ към f(x) в
R
8
.Комплексна форма на реда на Фурие.Нека
f(x) е частично гладка ф-ия в (a,b) с период
2l=b-a.Редът на Фурие за тази ф-ия има вид
f(x)=a0/2+сума n=1 до оо ancos(nπx/l)
+bnsin( nπx/l), където коеф. на Фурие аn и bn
се пр-есмятат по с формулите: an=1/l∫ab
f(x)cos (nπx/l)dx, аналогично за bn Мойем да
преоб-разуваме
∀
една хармоника в първото
урав-нение с помоща на формулата на
Ойлер: e
iz
=cosz+isinz.Като заместим z с –z e
-
iz
=cosz-isinz. Решаваме по отношение на
cosz и sinz и получаваме: cosz=1/2(e
iz
+e
-iz
);
sinz=1/2i(e
iz
-e
-iz
). На z последователно
даваме стойност-ите z=nπx/l, n=1,2,… тогава
от първото урав-нение получаваме:
(замества се горе).В пос-ледното уравнение
сме отчели че 1/i=-i.По-лагаме: en=1/2(an-
ibn) и en=1/2(a-n+ib-n) и получаваме
комплексната форма на Фурие-вия ред:
∑
∞
−∞
=
=
n
l
x
in
n
e
e
x
f
/
)
(
π
9
.Интеграл на Фурие.
Т1
.Ако една ф-ия е аб-
солютно интегруема на реалната права, т.е.
в (-оо;+оо) и е частично гладка във
∀
краен
интервал , то нейният интеграл на Фурие е
сходящ и е в сила равенството:
1)
∫ ∫
∞ ∞
∞
−
−
=
0
)
(
cos
)
(
1
)
(
dt
x
t
t
f
x
f
ω
π
Комплексен интеграл на Фурие:
2)
∫ ∫
∞ ∞
∞
−
−
=
0
)
(
)
(
2
1
)
(
ω
π
ω
dtd
e
t
f
x
f
t
x
i
Трансформация на Фурие.Интегралната фо-
рмула на Фурие 2) може да се представи ка-
то две равенства с въвеждането на означ.:
3)
∫
∞
∞
−
−
=
=
dt
e
t
f
f
F
F
t
i
ω
π
ω
)
(
2
1
)
(
)
(
4)
∫
∞
∞
−
=
ω
ω
π
ω
d
e
F
x
f
x
i
)
(
2
1
)
(
Df
.Ф-та F(w), определена с равенството 3),
се нарича преобразуване(трансформация)
на Фурие за ф-та f, а ф-ла 4) характеризира
обратната трансформация на Фурие.Косин-
ус трансформация, аналог и sin тарнсфом.:
∫
∞
=
0
cos
)
(
2
)
(
tdt
t
f
F
ω
π
ω
∫
∞
=
0
cos
)
(
2
)
(
ω
ω
ω
π
xd
F
x
f
12.
Трансформация на Лаплас. Нека f(t) е ре-
ална ф-ия на реалната променлива t.
Df
. Ще
казваме че ф-та f(t) е оригинал, ако е удовл-
етворява условията:1)f(t) и производната й
f’(t) притежават не повече от краен брой точ-
ки на прекъсване върху произволен краен
Предмет: | Математика |
Тип: | Общи материали |
Брой страници: | 2 |
Брой думи: | 373 |
Брой символи: | 3769 |