2.

Производна на функция на комплексна пр-

оменлива.Δω=f(z+Δz)-f(z), 

Df.

Ако съществу-

ва крайната граница на отношението Δω/Δz 
при Δz->0 то:1)ф-ята f(z) се нарича дифере-
нцируема в т.z 2)тази граница се нарича пр-
оизводна на f(z) в т.z и се означава: ω’=f’(z)= 
lim Δz->0 Δω/Δz.Усл. на К-Р.

Т1

.Необходимо-

то и достатачно условие ф-ята f(z)= u(x,y)+ 
iv(x,y) да баде диференцируема в т. z=x+iy е: 
1)реалните ф-ции u(x,y) и v(x,y) да бъдат 
диференцируеми в т.z 2)в тази точка да са 
изпълнени условията на К-Р: ∂u/∂x= ∂v/∂y, 
∂u/∂y=-(∂v/∂x).Аналитични ф-ции.

Df.

 Ако ф-

цията f(z) е еднозначна и диференци-руема 
в 

∀

 т. на областта D, то тя се нарича анали-

тична в тази област.

Df.

Ф-ята f(z) се нарича 

аналитична в т.z, ако тя е аналитична в око-
лност около тази точка. 

Л1

.Нека реалната ф-

ция u(x,y) е дефинирана в D.Ако нейните 
частни производни удовлетворяват услови-
ето ∂u/∂x= ∂u/∂y=0 във 

∀

 т. на D, то ф-ята е 

константна в тази област.

Т2.

Ако f(z) е ана-

литична в D и f’(z)=0 за 

∀

 z от тази област, 

то f(z) e const. в D.

4

.Основна ф-ла на Коши. Нека ф-ята f(z) е 

аналитична в затворената област D (еднос-
вързана или многосвързана) и нека Г е гра-
ницата на D.Оказва се че стойността на f(z) 
в произволна т. z от D може да се пресмет-
не, познавайки само стойностите на f(z) въ-
рху границата Г, по формулата:f(z)=(1/2π.i) 
∫

Г

(f(ζ)dζ)/ζ-z.Формула за производните.

Т1

. 

Ако ф-ята f(z) е аналитична в затворената 
област D, то в 

∀

 т. от D тя притежава произ-

водни от произволен ред, дефинирани по 
формулата: f

(n)

(z)=(n!/2π.i) ∫

Г

(f(ζ)dζ)/(ζ-z)

n+1

.

T2 

(Т за средните стойности)Стойността на ан-
алитична ф-ция в центъра на кръг от обла-
стта и на аналитичност, е средно аритмети-
чно от стойностите на ф-ята върху окръжно-
стта на този кръг.

Т3.

(Принцип на максимума 

на модула)Ако ф-ята f(z), различна от const., 
е аналитична в затворената D , то модулът 
на тази ф-ия достига най-голямата си стой-
ност единствено върху границата на об. D.

5

.Ред на Тейлор.

Df.

Степенният ред 

1)

n

n

n

z

z

n

z

f

z

f

)

.(

!

)

(

)

(

0

0

0

)

(

−

=

∑

∞

=

се нарича ред 

на Тейлор за ф-ята f(z) в 

околност z=zо.По такъв начин сумата f(z) 
на степенния ред 

2)

∑

∞

=

+

−

++

−

+

−

+

−

+

=

−

0

0

3

0

3

2

0

2

0

1

0

0

. . .

)

(

. . .

)

(

)

(

)

(

)

(

n

n

n

n

n

z

z

a

z

z

a

z

z

a

z

z

a

a

z

z

a

е аналитична ф-ия в кръга на сходимост на 
този ред, който е ред на Тейлор за сумата си 
f(z).

Т1.

 

∀

 Ф-ия f(z), аналитична в кръга Іz-

zoІ<R, може да се представи в този кръг по 
единствен начин чрез съответния ред на 

Тейлор - ф.1.

Df.

Редът

n

n

n

z

z

a

z

f

)

(

)

(

0

−

=

∑

+∞

−∞

=

коефиц. на който се определят по ф-лата:

∫

+

−

=

γ

π

1

0

)

(

)

(

2

1

n

n

z

z

dz

z

f

i

a

, 

(n=0, ±1,±2,…),
се нарича ред на Лоран за ф-та f(z) и окол-
ност на т. zо.Сумата f(z) на реда е аналити-
чна ф-ция в пръстена на сходимост на този 
ред, който е ред на Лоран за своята сума. 

Т2.

 

∀

 Ф-ия f(z), аналитична в пръстена r<Іz-

zoІ<R, може да се представи в този пръстен 
по единствен начин чрез съответния ред на 
Лоран.Нули и особени точки. 

Df.

 Нула на ед-

на ф-ия се нарича такава точка zo, за която 
f(zo)=0.

T3

. Необходимото и достатъчно усл-

овие точката zo да бъде нула от кратност m 
за аналитичната ф-ия f(z) е тази ф-ия да им-
а вида:f(z)=(z-zo)

m

.φ(z), където φ(z) е анали-

тична ф-ия в zo и φ(z)≠0.

Df

. Т.zo се нарича 

изолирана особена т. за f(z), ако съществу-
ва такава околност на zo, в която тя е един-
ствена особена т. за f(z).

1сл)

 Ако аj=0 за 

∀ 

j<0, т.zo наричаме отстранима особена точ-
ка.

2сл)

Ако а

-m

≠0 за някое цяло положително 

m, но аj=0 за 

∀

 j<-m, казваме че точката zo е 

полюс от кратност м за f(z).

3сл)

Ако аj≠0 за 

безбройно много отрицателни стойности за j, 

казваме, че т. zo е съществено особена т. за 
f(z).

Т4

(Сохоцки-Казорати-Вайерщрас).Ако zo 

е съществено особена точка за f(z), то за 
произволно число А (крайно или безкрайно) 
съществува такава редица {zn}, която е схо-
дяща и lim n->oo zn=zo, че съответната ред-
ица {f(zn)} също е сходяща и lim n>oof(zn)=A

T5

. Необходимото и достатъчно условие то-

чката zo да е нула от кратност m за аналит-
ичната f(z) e zo да бъде полюс от кратност m 
за ф-та F(z)=1/f(z).

6

.Резидууми.

Df.

Резидуум Res

z=zo

f(z) на f(z) 

в крайната изолирана особена т. zo се нар-
ича коефициентът а

-1

 в представянето

n

n

n

z

z

a

z

f

)

(

)

(

0

−

=

∑

+∞

−∞

=

н

а ред на Лоран.От

 деф. За резидуумите 

следва, че ако zo е правилна или 
отстранима особена т. за f(z) то 
Res

z=zo

f(z)=0.

Т1.

(Основна теорема за ре-

зидуумите)Ако f(z) е аналитична върху гра-
ницата γ на D и е аналитична в тази област с 
изключение на краен брой изолирани осо-
бени точки z1,z2,…,zn, то:

)

(

2

)

(

0

1

z

f

es

R

i

dz

z

f

z

z

n

k

=

=

+

∑

∫

=

π

γ

Д-во:Да заградим особените точки z1,…,zn с 
достатъчно малки окр. lk които да лежат във 
вътрешността на γ и да не се пресичат вза-
имно.Тогава в затворената многосвързана 
област, ограничена от γ и окръжностите lk, 
f(z) е аналитична и съгласно теоремата на 
Коши за многосвързаната област:

∑∫

∫

=

=

n

k

l

k

dz

z

f

dz

z

f

1

)

(

)

(

γ

като интегрирането върху 

∀

 контури се изв-

ършва в посока, обратна на часовниковата 
стрелка.Токава Т1 е доказана като умножим 
и разделим дясната му страна с 2π.i.

Df

. Res 

z=оо

f(z) на f(z) в безкрайно отдалечената т.z= 

oo се нарича коеф. а1 в представянето:

∑

∑

∞

=

−

∞

=

+

=

1

0

)

(

n

n

n

n

n

n

z

a

z

a

z

f

 

на f(z) чрез ред на Лоран в околност на z=oo, 
взет с проти-воположен знак.Т2.Ако f(z) е 
аналитична в разширената равнина, с 
изключение на кра-ен брой особени точки, то 
сумата от резиду-умите на тази ф-ия е 
=0.Сл.Ако f(z) е анали-тична в разширената 
равнина с изключение на краен брой 
изолирани особени точки, при което 
крайните особени точки лежат във въ-
трешността на затворена крива γ то:

)

(

Re

2

)

(

z

f

s

i

dz

z

f

z

∞

=

−

=

∫

π

γ

7

.Ред на Фурие и условия за неговата сход-

имост.

Df

.Системата от ф-ии {φ

n

(x)}

oo

n=0

, де-

финирани в интервала [a,b] наричаме орто-
нормирана, ако са изпалнени условията:1)

∀ 

ф-ия има интегруем квадрат, ∫аб φ

n

(x)dx<оо 

2) ∫аб φ

n

(x)φ

м

(x)dx=δ

mn

 – символ на Кронекер 

Df

.Нека f(x) е дефинирана в интерв. [-π,π], с 

дължина на периода 2π.Казваме,че тази ф-
ия е развита по системата {1/коерн2π,(cos 
nx)/корен π,(sinnx)/корен π)

оо

n=1

, ако същес-

твуват такива константи:а0,а1,b1,a2,b2,…,an 
bn,... така че:f(x)=a0/2+сумаn=1до оо ancos 
nx+bnsinnx за 

∀

 x е [-π,π].

Df

.Ф-та f(x), дефин 

в [a,b] се нарича частинонепрекъсната, ако 
или е непрекъсната или има краен брой точ-
ки на прекъсване от първи род, при това:
limx->a f(x)=f(a+0)<oo ; limx->b- f(x)=f(b-0)<oo

Df

.Ф-та f(x), дефинира в [a,b], се нарича час-

тично-гладка в [a,b], ако е частично непрекъ-
сната и във 

∀

 интервал на непрекъснатост 

има частично непрекъсната производна. 

Л

. 

(Риман-Лебег):Ако φ(x) е произволна частно 
гладка ф-ия в [a,b], то:limp->oo ∫аб φ(x)sinpx 
dx=0 и limp->oo ∫аб φ(x)cospxdx=0.

T1

.(Дирих-

ле)Ако f(x) е 2π-периодична и частично-гла-
дка на периода ф-ия, то нейният тригономе-
тричен ред на Фурие е сходящ към f(x) в 

∀

 т. 

х, в която ф-та е непрекъсната, а в точките 
на прекъсване е в сила равенството: ½[f(x+ 

0)+f(x-0)]=a0/2+сумаk=1 до оо akcoskx+bksin 
kx.

T2

.(Дирихле)Ако f(x) е 2π-периодична, ча-

стично-гладка и непрекъсната върху цялата 
реална ос ф-ия, то нейният ред на Фурие е 
равномерно сходящ към f(x) в 

R

8

.Комплексна форма на реда на Фурие.Нека 

f(x) е частично гладка ф-ия в (a,b) с период 
2l=b-a.Редът на Фурие за тази ф-ия има вид 
f(x)=a0/2+сума n=1 до оо ancos(nπx/l)
+bnsin( nπx/l), където коеф. на Фурие аn и bn 
се пр-есмятат по с формулите: an=1/l∫ab 
f(x)cos (nπx/l)dx, аналогично за bn Мойем да 
преоб-разуваме 

∀

 една хармоника в първото 

урав-нение с помоща на формулата на 
Ойлер: e

iz

=cosz+isinz.Като заместим z с –z e

-

iz

=cosz-isinz. Решаваме по отношение на 

cosz и sinz и получаваме: cosz=1/2(e

iz

+e

-iz

); 

sinz=1/2i(e

iz

-e

-iz

). На z последователно 

даваме стойност-ите z=nπx/l, n=1,2,… тогава 
от първото урав-нение получаваме:
(замества се горе).В пос-ледното уравнение 
сме отчели че 1/i=-i.По-лагаме: en=1/2(an-
ibn) и en=1/2(a-n+ib-n) и получаваме 
комплексната форма на Фурие-вия ред:

∑

∞

−∞

=

=

n

l

x

in

n

e

e

x

f

/

)

(

π

9

.Интеграл на Фурие.

Т1

.Ако една ф-ия е аб-

солютно интегруема на реалната права, т.е. 
в (-оо;+оо) и е частично гладка във 

∀

 краен 

интервал , то нейният интеграл на Фурие е 
сходящ и е в сила равенството: 
1)

∫ ∫

∞ ∞

∞

−

−

=

0

)

(

cos

)

(

1

)

(

dt

x

t

t

f

x

f

ω

π

Комплексен интеграл на Фурие:
2)

∫ ∫

∞ ∞

∞

−

−

=

0

)

(

)

(

2

1

)

(

ω

π

ω

dtd

e

t

f

x

f

t

x

i

Трансформация на Фурие.Интегралната фо-
рмула на Фурие 2) може да се представи ка-
то две равенства с въвеждането на означ.:
3)

∫

∞

∞

−

−

=

=

dt

e

t

f

f

F

F

t

i

ω

π

ω

)

(

2

1

)

(

)

(

4)

∫

∞

∞

−

=

ω

ω

π

ω

d

e

F

x

f

x

i

)

(

2

1

)

(

Df

.Ф-та F(w), определена с равенството 3), 

се нарича преобразуване(трансформация) 
на Фурие за ф-та f, а ф-ла 4) характеризира 
обратната трансформация на Фурие.Косин-
ус трансформация, аналог и sin тарнсфом.:

∫

∞

=

0

cos

)

(

2

)

(

tdt

t

f

F

ω

π

ω

∫

∞

=

0

cos

)

(

2

)

(

ω

ω

ω

π

xd

F

x

f

12.

Трансформация на Лаплас. Нека f(t) е ре-

ална ф-ия на реалната променлива t.

Df

. Ще 

казваме че ф-та f(t) е оригинал, ако е удовл-
етворява условията:1)f(t) и производната й 
f’(t) притежават не повече от краен брой точ-
ки на прекъсване върху произволен краен