За да намерим оптималното решение, при зададения казус, ще използваме 

метода на линейното програмиране с помощта на предложения ни софтуер, но 

преди това следва да прецизираме условието на  казуса. И по точно да решим 

практическата задача  трябва да внесем малко яснота по някои въпроси, като 

например:

•

Що е модел и неговото моделиране? 

•

Използване на модели при решаване на  управленски решения. 

•

Същност   на  линейните   оптимизационни  модели  и  инстументариум  за 

решаването им (Графичен метод, Симплекс метод и софтуерни продукти). 

Moделът може да се определи като система от представи за едни 

или други интересуващи ни свойства на даден конкретен обект, процес 

или явление, за техните взаимни връзки и взаимни зависимости, изразени 

чрез словесно или писмено описание чрез създаване на аналогични вещи 

или   процеси,   чрез   графично   представяне   с   помощта   на   рисунки   ли 

чертежи, чрез описание с помощта на математически символи и системи 

от   формули,   уравнения   и   неравенства   с   цел   да   се   получи   нова, 

допълнителна   информация   за   изучавания   обект,   процес   или   явление, 

необходима за неговото изследване. 

Математическия   модел   е   описание   на   даден   обект   (явление)   с 

математически средства. Моделът отразява само главните, съществените 

страни   и   свойства   на   обекта.   Конструирането   на   един   математически 

модел   става   чрез   въвеждането   на  

променливи   величини,  

които 

обикновено се означават  с  

X

1

,  X

2

,  X

3

………,  X

n

. Това са уравнения или 

неравенства   и   се   наричат  

ограничения

  (constraints)   на   модела. 

Ограниченията   на   модела   позволяват   да   бъдат   определени   всички 

възможни състояния на обекта. В икономическата практика обаче често 

се налага измежду възможните състояния да бъде подбрано най-доброто в 

определен смисъл съобразно предварително формулиран  

критерии

.Това 

налага в модела да се включи и математически израз на критерия, който е 

функция на променливите и се нарича

 

целева функция

(objective function). 

Тя служи за сравняване на отделните състояния  и дава възможност за 

избор   на   най-доброто   от   тях.   Наличието   на   целева   функция   превръща 

математическия модел в оптимизационен. 

Математическия оптимизационен модел, в който целевата функция 

е   линейна   и   ограниченията   са   линейни   уравнения   и/или   неравенства   е 

известен   като  

линеен   оптимизационен   модел.

  Съгласно   създадената 

традиция, целевата функция се означава с  

Z

, коефициентите пред нея се 

наричат 

целеви коефициенти

. Когато се търси най-голямата стойност на 

целевата   функция  се   използва   записването

 

max

→

Z

,  

а  при   най-малката 

стойност

 

min

→

Z

.

 Най - важни  фактори  за решаване на линейните задачи 

са два:

-задаване  на цел;

          -задаване на ограничения. 

 

Допустимо   решение,   за   което   целевата   функция   има   най-голяма 

(най-малка)  стойност, се нарича  

оптимално решение

  (optimal solution). 

Оптимизационните задачи се решават чрез линейно оптимизиране, защото 

това   е   метод,   търсещ     най-   добрия   резултат     за   дадените   условия, 

независимо   от   характера   на   обекта   за   оптимизация   и   конкретната 

поставена цел. 

Линейните   оптимизационни   модели   използват   различен 

инструментариум за визуализация – графики, таблици, рисунки, софтуер. 

Крайното   решение   на   една   оптимизационна   задача   е   свързано   с   голям 

брой междинни решения, от които се избира оптималното.

Обикновено не е възможно да се препоръча един единствен метод за 

решаване   на   всички   оптимизационни   задачи,   които   възникват   в 

практиката, но най- характерен метод е 

симплекс  - метода.

Методът се състои в следното:

 

Таблично представяне на данни типични за планово - икономически 

решения,  разчети,  калкулации,  планово - прогнозна дейност. 

Пример за този метод може да се представи чрез целева функция и 

намиране на нейния минимум / максимум: 

Ако е дадена следната целева функция:

Max/min/: 

Z= C

1

X

1

+ C

2

X

2 

+……...+ C

m

X

m 

+……...+ C

nXn

 

X

1

+…....

a

1

, X

m

+1+…...+

a

1

, nxn=b1 Xm+………+amnxn=bm

Където 

xj > = 0,

J=1, n

i=1, m

то   за   решението,   данните   могат   да   се   нанесат   в   таблица   чрез 

използване на  симплекс метода:

Б

Сб В

Х

1

Х

2

. Х

i

.

X

m

Xm+1

.

Xk

.

Xn

C

1

C

2

. C

i

.

C

m

Cm+1

.

Ck

.

Cn

X1 C1 B1 1

0

. 0

.

0

A1,m+1

.. A1k

.

A1n

X2 C2 B2 0

1

. 0

.

0

A2,M+1

.

A2k

.

A2n

.

.

.

.

.

. .

.

.

.

.

.

.

.

Xi

Ci

Bi

0

0

. 1

.

0

Ai,m+1

.

Aik

.

Ain

.

.

.

.

.

. .

.. .

.

.

.

.. .

X

m

C

m

B

m

0

0

. 0

.

1

Am.m+1

.

Am

k

.

Am

n

∆i

Z=CbB

∆

1

∆

2

. ∆

i

.

∆

m

∆m+1

.

∆k

.

∆n

Променливите  

х1,   х2.....

се   наричат   базисни,   а   всички   останали   - 

свободни.  

Z=CbB

 е стойността на целевата функция за базисния план 

Хо

, 

числата 

∆I

 са оценки в индексния ред.

Прието   е  стълб  

В  

да   се   определя   като   нулев,  първият   стълб   е  

х

, 

вторият 

x

1

   

и т.н.  На 

м+1

 ред се записват стойностите на оценките, които 

отговарят на разликата от скаларното произведение на векторите 

С

 и 

А 

и 

съответните коефициенти 

с 

от целевата функция.

Чрез   така   изчислените   оценки   се   проверява   за   оптималност 

съответното допустимо решение.

Възможни са следните варианти:

-всички разлики > или = 0;

-разликите да са < 0 за някоя фиксирана стойност;

-разликите да са по > 0 за някои индекси;

В първия случай, изходното решение е оптимално.  Във   втория 

случай,   целевата   функция   е   неограничена   отгоре   и/или   отдолу   в 

множеството от допустими решения на задачата. 

В   третия   случай, 

изходното решение не е оптимално, но  може да бъде подобрено.

Когато един линеен оптимизационен модел  (ЛОМ)е формулиран с 

две променливи, съществува възможност той да бъде изобразен с помощта 

на геометрични средства. В този случай системата линейни ограничения 

описва многоъгълник. Ако между ограниченията на модела присъствуват 

и уравнения, многоъгълникът ще се превърне в част от права(отсечка или 

лъч),   точка   или   празно   множество.   Това   е   елементарна   и   нетипична 

ситуация и непредставлява интерес от методическа гледна точка, затова 

ние   разглеждаме   така   наречените  

двумерни   модели

,   в   които 

ограниченията   са  

неравенства

  с   две  

неотрицателни  (естествени) 

променливи.   Графичния   метод   или   по-точно   двумерния   линеен 

оптимизационен модел има ограничено приложение, но за сметка на това 

илюстрира   нагледно   свойствата   на   моделите   и   идеите   на   методите   за 

тяхното решаване.

Съществуват и   софтуерни продукти за намиране на оптимума на 

дадено решение.С помощта на MS Excel и приставката Solver е възможно 

да се получат приложими и/или оптимални решения на широка гама от