2.ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ И ОСНОВНИ ЗАДАЧИ В ДИНАМИКАТА НА
МАТЕРИАЛНА ТОЧКА
2.1.Диференциални уравнения на движението на материална точка.
Радиус – вектора на движеща се материална точка е:
( )
t
r
r
=
От кинематиката е известно, че ускорението
а
се изразява чрез радиус –
вектора
r
(фиг.2.1.):
2
2
dt
r
d
а
=
(2.1.)
Диференциалното уравнение на материална точка във векторна форма има вида:
F
dt
r
d
m
=
2
2
(2.2.)
Ако проектираме двете части на горното уравнение върху координатните оси ще
получим диференциално уравнение на движение като проекция по тези оси.
В декартова координатна система в общия случай
z
z
y
y
x
x
F
ma
F
ma
F
ma
=
=
=
,
,
(2.3.)
2.2.
O
сновни задачи на динамиката на материална точка.
2.2.1.Първа (права) задача.
По зададени закон за движение и маса на
материалната точка да се определи силата, действаща върху нея.
Решението на тази задача се осъществява чрез предварително определяне
проекциите на ускорението на точката в съответната координатна система по зададен
закон на движение, след което чрез съответните проекционни уравнения на основното
уравнение на динамиката се получават проекциите на силата, а оттам и посоката и
големината ù.
2.2.2.Втора (обратна) задача.
По зададени маса на материалната точка,
начални условия на движението ù и сили, действащи върху нея, да се определи законът
на движението на точката.
Решението на тази задача се свежда до интегриране на диференциалните
уравнения на движение на материална точка.
2.2.3.Принцип на Даламбер.
На основното уравнение на динамиката може да се
даде формата на уравнение на равновесието на материалната точка, ако към
приложените върху нея сили, мислено присъединим и инерционната сила.
5