Непрекъснатост на функция
1. Непрекъснатост на функция.
Определение
: Функцията
)
(
x
f
y
=
се нарича непрекъсната в точката
0
x
от
дефиниционното си множество, ако:
)
1
)
(
x
f
е дефинирана в интервала
(
)
ε
ε
+
−
0
0
,
x
x
, където
0
>
ε
, (
)
(
0
x
f
е
напълно определено число);
)
2
)
(
lim
0
x
f
x
x
→
съществува;
)
3
)
(
)
(
lim
)
(
lim
)
(
lim
0
0
0
0
0
0
x
f
x
f
x
f
x
f
x
x
x
x
x
x
=
=
=
→
+
→
−
→
Ако е нарушено поне едно от трите условия,
)
(
x
f
се нарича прекъсната в
точката
0
x
.
2. Непрекъснатост отдясно и отляво.
2.1. Непрекъснатост отдясно.
Определение
: Ако функцията
)
(
x
f
y
=
е определена за
0
x
x
=
и при това
)
(
)
(
lim
0
0
0
x
f
x
f
x
x
=
+
→
, казва се, че функцията в точка
0
x
е непрекъсната
отдясно.
2.2. Непрекъснатост отляво.
Определение
: Ако функцията
)
(
x
f
y
=
е определена за
0
x
x
=
и при това
)
(
)
(
lim
0
0
0
x
f
x
f
x
x
=
−
→
, казва се, че функцията е непрекъсната отляво в точката
0
x
.
3. Непрекъснатост в интервал.
3.1.
Непрекъснатост в отворен интервал
(
)
b
a
,
1
Определение
: Ако една функция
)
(
x
f
y
=
е непрекъсната във всяка
точка на даден интервал
(
)
b
a
,
, казва се, че функцията е непрекъсната в
този интервал.
3.2.
Непрекъснатост в затворен интервал
[
]
b
a
,
Определение
: Ако функцията
)
(
x
f
y
=
е непрекъсната във всяка точка
на интервала
(
)
b
a
,
и в краищата на интервала, съответно непрекъсната
отдясно и непрекъсната отляво, казва се, че функцията е непрекъсната в
затворения интервал
[
]
b
a
,
.
4. Причини за прекъснатост. Отстранима прекъснатост. Точки на
прекъсване от І и ІІ род.
4.1. Причини за прекъснатост. Отстранима прекъснатост.
Логически възможните случаи, при които се счита, че функцията
)
(
x
f
y
=
е прекъсната в точка
0
x
x
=
са следните:
)
1
В случаите, когато
ДМ
x
∈
0
на функцията
)
(
x
f
прекъснатостта може
да се дължи на следното:
)
a
не съществува
)
(
lim
0
x
f
x
x
→
;
)
б
)
(
lim
0
x
f
x
x
→
съществува, но
)
(
)
(
lim
0
0
x
f
x
f
x
x
≠
→
.
)
2
Когато точка
ДМ
x
∉
0
на функцията
)
(
x
f
прекъснатостта се дължи на
следното:
)
a
не съществува
)
(
lim
0
x
f
x
x
→
;
)
б
)
(
lim
0
x
f
x
x
→
съществува, но
)
(
lim
0
x
f
x
x
→
не може да е равна на
)
(
0
x
f
,
защото
)
(
0
x
f
няма смисъл (
ДМ
x
∉
0
).
В този случай е възможно да се построи функцията
)
(
x
f
, която да е
непрекъсната в точката
0
x
по следния начин:
=
∈
=
→
0
) ;
(
l i m
)
(
) ;
(
)(
0
x
xx
f
Д М
D
xx
f
xf
x
x
2
Дефиниционното множество на функцията
)
(
x
f
е
D
, което се
изчерпва с точките на дефиниционното множество
D
на функцията
)
(
x
f
и точката
0
x
.
За така построената функция
)
(
x
f
е изпълнено определението за
непрекъснатост. Тя е непрекъсната в точка
0
x
и съвпада с
)
(
x
f
в
съседните на
0
x
точки.
В този случай още се казва, че функцията
)
(
x
f
е додефинирана в
точка
0
x
, така че в тази точка да стане непрекъсната, а точката
0
x
се
нарича
точка на отстранима прекъснатост
.
4.2. Точки на прекъсване от І и ІІ род.
4.2.1. От І род.
Определение
: Ако функцията е такава, че съществуват крайните граници
)
(
lim
0
0
x
f
x
x
−
→
и
)
(
lim
0
0
x
f
x
x
+
→
, но те или са различни или функцията не е
дефинирана при
0
x
x
=
, точката
0
x
се нарича
точка на прекъсване от І
род
.
)
1
)
(
lim
)
(
lim
0
0
0
0
x
f
x
f
x
x
x
x
−
→
+
→
≠
0
x
⇒
точка на прекъсване от І род;
)
2
)
(
x
f
не е дефинирана за
0
x
x
=
)
(
)
(
lim
)
(
lim
0
0
0
0
0
x
f
x
f
x
f
x
x
x
x
≠
=
+
→
−
→
0
x
⇒
точка на прекъсване от І род,
отстранима точка на прекъсване
4.2.2. От ІІ род.
Определение
: Ако функцията
)
(
x
f
е такава, че поне една от двете
граници
)
(
lim
0
0
x
f
x
x
−
→
и
)
(
lim
0
0
x
f
x
x
+
→
не съществува (в частност е равна на
безкрайност) точката
0
x
се нарича
точка на прекъсване от ІІ род
.
5. Свойства на непрекъснатите функции.
)
1
Ако
)
(
x
f
е непрекъсната в даден интервал,
c
- число
)
(
.
x
f
c
⇒
е също
непрекъсната в този интервал;
)
2
Ако
)
(
),
(
2
1
x
f
x
f
са непрекъснати в даден интервал,
0
)
(
2
≠
x
f
в този
интервал
)
(
)
(
)
(
2
1
x
f
x
f
x
=
⇒
ψ
е непрекъсната в този интервал;
3
Непрекъснатост и производна на функция
Непрекъснати и прекъснати функции, точка на прекъсване от 1 и 2 род, отстранима прекъснатост, лява, дясна, безкрайна производна, техника на диференциране и геометричен смисъл на производната на функция...Непрекъснатост и производна на функция
| Предмет: | Математика |
| Тип: | Уроци |
| Брой страници: | 11 |
| Брой думи: | 164 |
| Брой символи: | 1548 |