Тема 5. Модели за управление на запасите при случайно търсене

Да   предположим,   че   фирма   трябва   да   закупи   някакъв   вид   оборудване.   Една   от   основните 
резервни   части   на   оборудването   е   доста   сложна   и   скъпа   и   се   налага   заедно   с   основното 
оборудване   да   се   поръчат   и   няколко   от   тези   резервни   части.   Ако   се   закупят   повече   от 
необходимите резервни части, то излишните не се използват или се продават на много  ниски 
цени, което води до загуби. Ако тези резервни части липсват, то се налага извънредното им  
доставяне, но вече на значително по-високи от първоначалните цени.

Означаваме със 

s

 големината на запаса. Предполагаме, че търсенето 

q,

 за интервала от време 

Т, 

е случайна величина с известна функция на разпределение 

P(q)

. Възможни са два случая:

1)

Търсенeто  

q

  e  по-малко  или  равно  на  запаса  

s

.  Тогава   запасът  покрива   търсенето  и 

остават 

(s-q)

 резервни части, които ще трябва да се продадат на по-ниска цена, носещи 

загуби

 C

1

 за една единица от тези резервни части.

2)

Търсенето  

q

  е   по-голямо   от   запаса  

s

  и   в   този   случай   възниква   необходимост   от 

извънредно доставяне на резервни части, което води  до допълнителни разходи от 

C

2

 за 

една единица от тези резервни части. Броят на допълнително необходимите части е 

(q-

s).

Предварително не е известно търсенето 

q

, нос е знае разпределението на вероятностите 

P(q)

. За 

да намерим очакваните разходи при дадено ниво на запаса 

s

 ще трябва да съберем стойностите 

на   разходите   за   всяко  

q

  умножени   по   съответните   вероятности  

P(q)

.   Така   достигаме   до 

функцията: 

=  . =

- . ( )+  . = + ∾ - . (∾)

Qs

c1 q 0ss q P q

c2 q s 1 qs Pq

Така   конструираната   функция   дава   общите   загуби   и   разходи.   Доказва   се   също,   че   така 
конструираната функция има минимум за конкретна стойност 

s*

. Подходът за определянето и 

доказването му се свързва с определяне на стойността на функцията 

Q

 при 

(s+1) 

и 

(s-1).

+ =  . = + + - . ( )+  . = + ∾ -( + ). (∾)

Qs 1

c1 q 0s 1s 1 q P q

c2 q s 2 qs 1 P q

+ =  

=

+ - .

+( + - + . ( + )+  

. = + ∾( - + .

-( + - + . ( + )=  

=

-

Qs 1

c1q oss 1 q Pq s 1 s 1 P s 1

c2 q s 1 q s 1 Pq s 1 s 1 P s 1

c1q 0ss

.

+  =

( )+  . = + ∞ - .

-  = + ∞ ( )

q Pq q 0sP q

c2 q s 1 q s Pq q s 1 P q

Използваме това, че 

=

+  = + ∞ ( )=

q 0sPq q s 1 P q

1

от тук следва, че

= + ∞ ( )= -  =

( )

q s 1 P q

1 q 0sP q

Заместваме в горното уравнение:

+ =  . =

- . ( )+ 

=

( )+ 

= + ∞ - . ( )-  ( -  =

=

+ 

=

-  +

Qs 1

c1 q 0ss q P q

c1q 0sP q

c2q s 1 q s P q

c2 1 q 0sPq Qs

c1q 0sPq c2

=

=

+ +

=

- 

c2q 0sPq Qs c1 c2q 0sPq c2

1